Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Vlnová funkce a vlnová rovnice


Vlnová funkce
   V kvantové mechanice přiřazujeme částici vlnovou funkci. Tato skutečnost vychází z vlnově korpuskulárního charakteru částic. Některé experimenty naznačují, že částice jako elektron vykazují vlnové vlastnosti (Davissonův - Germerův experiment, 1927). Jiné experimenty ukazují spíše korpuskulární vlastnosti částic. Částici přiřadíme vlnovou funkci, která je obecně komplexní
.        (1 - U)
Tato vlnová funkce musí splňovat několik matematických podmínek:
  • jednoznačnost při všech hodnotách argumentů
  • spojitost funkce a jejích prvních derivací při všech hodnotách argumentů
  • ohraničenost při všech hodnotách argumentů
  • kvadratická integrabilita
Poslední podmínka předpokládá konečnost integrálu
.        (2 - U)
Výraz je tzv. hustota pravděpodobnosti. Vlnová funkce je normovaná, když
.        (3 - U)
Vlnová funkce volné částice je dána vztahem
,        (4 - U)
kde je amplituda, výraz představuje fázi vlny a je hybnost. Protože se jedná o volnou částici, můžeme celkovou energii ztotožnit s kinetickou energií . Ze vztahu (4 - U) vidíme, že kromě argumentů obsahuje vlnová funkce ještě parametry, které charakterizují částici. Argumenty a parametry musíme důsledně odlišovat. Výběr argumentů vlnové funkce není libovolný, ale je omezen tzv. principem komplementarity.

Vlnová rovnice
    Pokud se částice pohybuje v poli sil, je třeba určit diferenciální rovnici, ze které lze získat vlnovou funkci . Tato tzv. Schrödingerova rovnice umožňuje určit časový vývoj kvantově mechanické soustavy
,        (5 - X)
kde je potenciální energie, je hmotnost částice a symbol označuje Laplaceův operátor. Tento diferenciální operátor lze zapsat jako

nebo
.
Za určitých podmínek pro potenciální energii můžeme z rovnice (5 - U) získat tzv. bezčasovou Schrödingerovu rovnici, která dovoluje vypočítat energii soustavy. Její tvar obvykle píšeme jako