Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Operátory kvantové mechaniky


Operátory kvantové mechaniky
   Kvantová mechanika využívá jiného matematického aparátu než klasická fyzika. Místo dynamických proměnných užíváme operátory, které můžeme definovat jako předpis (pravidlo), kterým je funkci f  přiřazena funkce g. Tuto skutečnost zapíšeme
.        (7 - U)
Operátor se obvykle značí "stříškou" nad symbolem. Příkladem může být
, , .        (8 - U)
Na operátory kvantové mechaniky klademe dva důležité požadavky. Operátory kvantové mechaniky musí být lineární a hermiteovské [1]. První požadavek zajišťuje, aby bylo vyhověno principu superpozice stavů. Druhý zajišťuje shodu teorie s měřením s ohledem na reálnost naměřených hodnot.
    Existují situace, kdy při aplikaci operátoru na nějakou funkci je výsledkem násobek této funkce. To můžeme symbolicky vyjádřit takto
.        (9 - U)
Funkci ze vztahu (9 - U) nazýváme vlastní (charakteristickou) funkcí operátoru , příslušné hodnoty nazýváme vlastní (charakteristické) hodnoty operátoru . Hodnoty tvoří množinu vlastních čísel, kterou nazýváme spektrem operátoru. V situaci, kdy vlastnímu číslu přísluší několik lineárně nezávislých funkcí, mluvíme o degenerovaném spektru. Opačným případem je stav, kdy každému vlastnímu číslu přísluší pouze jedna vlastní funkce. Pak mluvíme o spektru nedegenerovaném.
    Jak již bylo řečeno, jsou operátory kvantové teorie lineární. Operátor je lineární, pokud pro libovolné přípustné funkce a libovolné komplexní koeficienty platí
.        (10 - U)
Dalším požadavkem byla hermicita operátorů. Takový operátor má reálná vlastní čísla, což je nutné, pokud se jedná o operátor fyzikální veličiny. Pro hermiteovský operátor platí
,        (11 - U)
kde jsou libovolné funkce . Pokud bude platit
,        
kde je vlastní funkce operátoru , pak lze zapsat
.        (12 - U)
Ze vztahu (12 - U) můžeme určit, že
.       
Tento vztah vyjadřuje reálnost vlastních čísel hermiteovského operátoru. Hermiteovské operátory rovněž někdy označujeme jako operátory samosdružené či samoadjungované. V kvantové mechanice hrají stěžejní roli lineární a hermiteovské operátory (LHO).
    V případě více operátorů je třeba poznamenat, že výsledek nemusí být nezávislý na pořadí působení operátorů na funkci. Tato skutečnost vede k závažným fyzikálním důsledkům, a proto je třeba zavést komutátor, který označujeme
.        (13 - U)
Komutátor u komutujících operátorů je nulový, u nekomutujících operátorů nabývá komutátor nenulové hodnoty. Mějme dva operátory
,
pak

Tyto dva operátory tedy nekomutují. Mějme odlišné dva operátory
,
pak
.
Tyto dva operátory spolu komutují.
    Označíme-li výsledek působení lineárního hermiteovského operátoru s vlastními čísly a s vlastními funkcemi jako
,
můžeme definovat maticové elementy jako čísla
.
Uspořádáme-li tato čísla do řádků podle prvního indexu a do sloupců podle druhého indexu, obdržíme klasickou obdélníkovou matici.

[1] Bethe, H., Hund, F., Mott, N.F., Pauli, W., Rubinowitz, A., Wentzel, G.: Quantentheorie. Berlin: nakladatelství Julius Springer, 1933. 854 s.