Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Závislost matice hustoty na čase


Závislost matice hustoty na čase
   Nyní vyšetříme časovou závislost operátoru hustoty. Uvažujme rovnici
.        (53 - U)
V této rovnici vystupují časové derivace a , které můžeme určit ze Schrödingerovy rovnice (28 - U)
.        (54 - U)
Vztah (54 - U) vynásobíme členem , takže
.        (55 - U)
Komplexně sdružená rovnice je dána vztahem
,        (56 - U)
což je způsobeno tím, že operátor je hermiteovský.
Po úpravě získáváme
.        (57 - U)
S ohledem na vztahy (55 - U) a (57 - U) dosadíme za derivace a do rovnice (53 - U). Můžeme tedy zapsat
,        (58 - U)
což lze upravit na tvar
.        (59 - U)
Ze vztahu (59 - U) je zřejmě
.        (60 - U)
Nyní uvažujme rozklad celkového hamiltoniánu
,        (61 - U)
kde
        (62 - U)
a symbolizuje operátor vzájemného působení mezi uvažovanou soustavou a rušivým vlivem. Pak můžeme zapsat
,        (63 - U)
což lze přepsat do maticového tvaru a rozložit na
.        (64 - U)
Dále můžeme člen následovně zjednodušit
.        (65 - U)
Tento vztah upravíme na
.        (66 - U)
Vztah (66 - U) dosadíme do rovnice (64 - U) a získáváme
.        (67 - U)
Nyní se zaměříme na člen . Hamiltonián je výhodné rozdělit na dvě části
.        (68 - U)
Ve vztahu (68 - U) hamiltonián označuje působení uvnitř systému a hamiltonián označuje působení vnějších polí na uvažovanou soustavu. Časovou derivaci matice hustoty pak můžeme zapsat ve tvaru
.        (69 - U)
Lze ukázat, že soustava nacházející se v čase ve stavu se pod vlivem vyvíjí tak, že klesá exponenciálně s časem.
    Předpokládáme-li nulové působení vnějších sil na soustavu , pak můžeme zapsat soustavu rovnic
        (70 - U)
.        (71 - U)
V rovnici (70 - U) můžeme za předpokladu zanedbat všechna kromě členu . Získáváme tedy
        (72 - U)
.        (73 - U)
V rovnici (73 - U) je u členu a vynecháno ve spodním indexu . V rovnici (72 - U) zaměníme za všechna index a v takto vzniklém členu opět vynecháme spodní index . Můžeme tedy psát
.        (74 - U)
Vytvoříme hermiteovsky sdruženou rovnici, což můžeme provést díky hermiteovským operátorům a . Získáváme vztah
,        (75 - U)
z čehož plyne
.        (76 - U)
Nyní derivujeme rovnici (73 - U) pro a získáváme vztah
.        (77 - U)
Z rovnic (74 - U) a (76 - U) můžeme dosadit za derivace a , píšeme tedy
. (78 - U)
Zanedbáme všechny členy , a vztah (78 - U) přepíšeme jako
.    (79 - U)
Pokud hamiltonián , pak rovnice
        (80 - U)
představuje exponenciální spád .
    Působení lze popsat jako takovou změnu v nepřítomnosti rušení, která způsobí dosažení rovnováhy systému s prostředím, které jej obklopuje. Můžeme tedy zapsat
,        (81 - U)
kde člen a komutátor je zaměněn relaxačním členem, který v nepřítomnosti poruchy způsobuje exponenciální pokles k nule.
    Diagonální elementy se mění tak, že se blíží své rovnovážné hodnotě . Zavedeme pravděpodobnost přechodu , která je určena jako pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu za jednotku času při nepřítomnosti poruchy . Pokud zavedeme pravděpodobnost přechodu , můžeme uvažovat změny obsazení hladin při nepřítomnosti poruchy . Lze tedy psát
.        (82 - U)
V rovnici (82 - U) představují členy přechod ze stavu do stavu a členy přechod ze stavu do stavu . V případě rovnovážného stavu systému platí
.        (83 - U)
Nyní zavedeme relaxační dobu , která bude určena vztahem
.        (84 - U)
Z rovnice (83 - U) můžeme navíc určit
,        (85 - U)
a tak můžeme rovnici pro přepsat jako
.        (86 - U)
Platí-li, že všechny doby jsou stejné , pak můžeme zapsat
.        (87 - U)
Protože platí
,        (88 - U)
získává rovnice pro tvar
.        (89 - U)
Je zřejmé, že při nepřítomnosti poruchy diagonální elementy směřují k rovnovážným hodnotám .
    Pokud se jedná pouze o dvouhladinový systém (systém se dvěma možnými hladinami), pak určujeme spin - mřížkovou relaxační dobu pro diagonální elementy matice hustoty. Pro nediagonální elementy určujeme spin - spinovou (příčnou) relaxační dobu .