Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Matice hustoty


Matice hustoty
   Potřebujeme-li v kvantové mechanice popsat soubor mikrosystémů, z nichž každý může být v jiném kvantovém stavu, je situace složitější. Taková soustava mikrosystémů se nazývá smíšeným souborem. Každému mikrosystému přísluší určitá vlnová funkce a mikrosystém je v souboru zastoupen s pravděpodobností .
    Uvažujme nyní takový smíšený systém, ve kterém je stav realizován s pravděpodobností . Pokud chceme určit střední hodnotu veličiny reprezentované operátorem ,  využijeme vztahu
.        (41 - U)
Vztah (41 - U) můžeme přepsat jako
          (42 - U)
neboli
.           (43 - U)
Zřejmě je možno psát
.           (44 - U)
Dostáváme důležité vztahy
         (45 - U)
,          (46 - U)
kde symbolem označujeme operátor hustoty [3], někdy nazývaný jako statistický operátor. Symbol Sp značí součet všech diagonálních elementů matice v libovolné reprezentaci (stopa matice). Označení tohoto součtu vychází z německého Spur - stopa a někdy se rovněž můžeme setkat se symbolem Tr, který vychází z anglického Trace. V případě, že není vlastním stavem operátoru, můžeme provést rozklad
.          (47 - U)
Vztah (47 - U) můžeme dosadit do vztahu (45 - U), takže
.          (48 - U)
Maticový prvek je dán vztahem
         (49 - U)
a můžeme tedy psát
         (50 - U)
a po úpravě
.          (51 - U)
Diagonální prvek matice zapíšeme jako
.          (52 - U)
Operátor hustoty  je hermiteovským operátorem, protože platí
Jak je uvedeno výše, stopa matice operátoru hustoty je normována k jedné .
[3] Fliessbach, T.: Quantenmechanik. Berlin: Spektrum, 2000. 360 s. ISBN 3-8274-0996-9