Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Diracova symbolika


Diracova symbolika
   V kvantové mechanice se setkáváme s různými způsoby zápisu. Poněkud méně běžným způsobem je zápis pomocí Diracovy symboliky (Diracova notace, braketové symboliky). Jedná se přitom o velice Přehledný a úsporný způsob zápisu jinak složitých vztahů. K tomuto způsobu zápisu můžeme dojít následovně.
    Uvažujme o soustavě ortonormálních funkcí , kde představuje nějakou posloupnost přirozených čísel. Pokud můžeme libovolnou funkci téže třídy rozložit do tvaru
,        (16 - U)
kde jsou komplexní čísla, je funkce nahrazena souborem čísel . O souboru funkcí hovoříme jako o úplném souboru funkcí. Místo vlnové funkce můžeme užít stavový vektor, jehož souřadnicemi jsou čísla . Tato čísla vypočteme ze vztahu
.        (17 - U)
To lze podle Diraca zapsat jako
.        (18 - U)
Symbol nazýváme "bra" vektor a komplexně sdružený symbol "ket" vektorem od anglického slova "bracket" - závorka.
    Tímto způsobem zápisu tedy zapíšeme vlastní funkce a jako
.        (19 - U)
Vztah pak můžeme zapsat jako
.        (20 - U)
Relace ortonormality pak zapíšeme jako
.        (21 - U)
Maticové elementy vyjádříme [2]
.        (22 - U)
Stavový vektor pak lze vyjádřit a vektor komplexně sdružený . Takové vektory si můžeme představit jako sloupcové, resp. řádkové
        .    (23 - U)
Z rovnice
        (24 - U)
vidíme, že při působení operátoru na bravektor vzniká obecně jiný bravektor. Platí rovněž
.        (25 - U)
Tuto skutečnost vyjádříme tak, že hermiteovské operátory působí na bravektory zprava a na ketvektory zleva.
Zápis
        (26 - U)
označuje skalární součin. Můžeme tedy zapsat
.        (27 - U)
Součinem bravektoru a ketvektoru je skalár (obecně je to komplexní číslo). Ve Feynmanově interpretaci je toto číslo amplitudou pravděpodobnosti přechodu soustavy ze stavu do stavu .
    Součinem ketvektoru a bravektoru vzniká operátor. Schrödingerovu rovnici můžeme zapsat ve tvaru
.        (28 - U)
Pokud se snažíme popsat izolovanou, nerušenou soustavu, pak označíme hamiltonián . Nyní budeme hledat řadu funkcí , které získáme řešením rovnice
.        (29 - U)
Zprvu budeme předpokládat, že člen je nezávislý na času. Pro vektory , pro které má hamiltonián vlastní hodnoty , platí vztah
.        (30 - U)
Vzhledem k ortonormalitě vektorů můžeme psát
.        (31 - U)
Z toho plyne
        (32 - U)
a po dosazení do (29 - U) získáváme
        (33 - U)
a dále určíme
.        (34 - U)
Z normovací podmínky
        (35 - U)
plyne
.        (36 - U)
To znamená, že vlastní funkce v tomto případě závisejí na času harmonicky. Je-li možné stav systému popsat vlastním vektorem , jeho obecný stav je pak možné vyjádřit lineární kombinací vlastních vektorů
,        (37 - U)
přičemž platí, že je pravděpodobnost zastoupení v obecném stavu . Koeficienty tohoto rozkladu zapíšeme ve tvaru
.        (38 - U)
Složitější situace nastává, pokud na soustavu působí síly měnící její dynamický stav. V takovém případě musíme použít celkový hamiltonián . Pro tento operátor platí
,        (39 - U)
kde označuje operátor poruchy. Vztah (37 - U) je pak možné rozepsat jako
.        (40 - U)
Dosazením tohoto vztahu do Schrödingerovy rovnice získáváme soustavu rovnic pro , kterou je možné řešit například poruchovým počtem.

[2] Park, D.: Introduction to the quantum theory. 2. vydání, New York: McGraw-Hill Book Company, 1974. 670 s. ISBN 0-07-04-8481-3