Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Dielektrikum v proměnném elektrickém poli

    Kramersovy - Kronigovy disperzní relace
   
Kramersovy - Kronigovy disperzní relace jsou matematické vztahy, které spojují reálnou a imaginární část jekékoliv komplexní funkce analytické v horní či dolní polorovině Gaussovy roviny. Tyto relace se často používají ke spojení reálné a imaginární části odezvových funkcí fyzikálních systémů, kde závislost na předchozích hodnotách (kauzalita systému) zaručuje splnění podmínky analytičnosti.
    Jsou pojmenovány na počest Ralpha Kroniga a Hendrika A. Kramerse.
    Pro funkci  analytickou v horní polorovině a konvergující k nule při  jsou Kramersovy - Kronigovy disperzní relace dány vztahy
              
        (1 - III)
kde označení PV znamená takzvanou Cauchyho hlavní hodnotu (někdy též pouze hlavní hodnotu integrálu),  je integrační proměnná. Je zřejmé, že reálná a imaginární část funkce jsou nezávislé. Celou funkci lze zrekonstruovat, je-li známa pouze jedna část funkce.
    Odvození začíná aplikací teorie reziduí při integraci v komplexním oboru. Mějme funkci , která je analytická v horní polorovině, a uvažujme integrál
        (2 - III)
    Bod, v jehož okolí lze analytickou funkci rozvinout v Taylorovu řadu, se nazývá regulární. Bod, který není regulární, se nazývá singulární. Pokud uvažujeme funkci jako holomorfní, pak póly jsou izolované singulární body, v jejichž okolí funkce zůstává jednoznačná a jež jsou regulární pro funkci .
    Integrační cesta uzavírá tento celek: horní polorovina pokračující do nekonečna, reálná osa a oblouk (půlkruh) nad pólem . Oblouk je vedený tak, aby v oblasti uvnitř tohoto oblouku (ve vzdálenosti od středu oblouku menší než poloměr oblouku) nezůstal žádný pól. Rozložíme integrál na tři segmenty. Segment rostoucí do nekonečna zmizí v okamžiku, kdy budeme předpokládat . Zbývají tak pouze dva segmenty - reálná osa a půlkruh nad pólem . Pak platí vztah
        (3 - III)
    Po upravení se dostáváme ke kompaktní formě Kramersových - Kronigových relací
        (4 - III)
    Komplexní permitivita
    Mezi dielektrická měření patří také měření, při nichž se sleduje elektrickými metodami chování dielektrik v časově proměnném elektrickém poli. Skutečnost, že látka je ve statickém poli dielektrikem, však neznamená, že vodivost dielektrika musí být rovna nule i v časově proměnném elektrickém poli.
    Vložíme-li dielektrikum do časově proměnného elektrického pole o intenzitě E, poteče dielektrikem proud, jehož hustota i bude dána rovnicí
        (5 - III)
    Vztah mezi hustotou proudu a intenzitou pole je podle této rovnice určen dvěma materiálovými veličinami, vodivostí a celkovou permitivitou . Obě tato veličiny obecně závisí na velikosti intenzity elektrického pole, na tvaru její časové závislosti, na teplotě, tlaku a dalších faktorech. Poznání těchto závislostí je úkolem dielektrických měření. Výsledky měření pak umožňují studium některých zákonitostí ve stavbě dielektrik a mají význam pro jejich použití v technické praxi.
    Permitivita a měrná vodivost však nejsou jedinými veličinami, kterými je možno popsat vlastnosti dielektrika. Měříme-li ve střídavém elektrickém poli harmonického průběhu, což je nejobvyklejší, je vhodné zavést pojem komplexní permitivita.

    Je-li dielektrické těleso umístěno ve vnějším poli, které náhle změní svoji hodnotu například z na , nenabývá polarizace ihned hodnoty odpovídající změněné intenzitě pole. Těleso se dostane do odpovídajícího elektrického stavu až po určité době, kterou nazýváme relaxační dobou. Je zřejmé, že dielektrické vlastnosti látkového prostředí budou odlišné od statických hodnot pro pole měnící se v charakteristických časových intervalech srovnatelných nebo menších než relaxační doba. V těchto případech je nutné vzít v úvahu proces probíhající v látkovém prostředí vždy s konečnou rychlostí a vedoucí obecně ke zpožďování úrovně polarizace za příslušnou intenzitu pole. Na elektrický stav tělesa, který budeme vyjadřovat vektorem elektrické indukce , bude mít vliv i průběh pole před časem t.
    Tuto skutečnost vyjádříme vztahem
        (6 - III)
kde funkce udává, jaký je příspěvek pole k indukci v čase t, když v čase mělo hodnotu . Je zřejmé, že  nebo je konstantní. Pro praxi nejdůležitější případ nastává, když se intenzita elektrického pole mění harmonicky s frekvencí . Pak tedy platí
        (7 - III)
Vyjádříme-li též vektor indukce v této podobě, dostaneme po dosazení do vzorce (6 - III)
        (8 - III)
Zde  vyjadřuje zpoždění vektoru  za intenzitou pole. Rovnici vynásobíme výrazem  a získáváme
        (9 - III)
Nyní porovnáme reálnou a imaginární složku tohoto vztahu na obou stranách rovnice. Využijeme obecného vztahu pro komplexní čísla
        (10 - III)
který dosadíme do vztahu (9 - III)
        (11 - III)
Reálná část je tedy
        (12 - III)
a imaginární část je dána vztahem
        (13 - III)
Vztah mezi vektory  však může být vyjádřen ve tvaru
    (14 - III)
 Vidíme, že je nyní komplexní veličinou, která může být zapsána ve tvaru
        (15 - III)
Porovnáme opět reálnou a imaginární složku ve výrazu (14 - III), dostaneme
        (16 - III)
        (17 - III)
To znamená, že
        (18 - III)
        (19 - III)
Dále vypočítáme výkon, který se uvolní v objemové jednotce dielektrika za jednotku času. Zřejmě je

    Odtud je patrno, že složka  souvisí s absorpcí vysokofrekvenční energie v dielektriku a nazývá se proto absorpční složkou komplexní permitivity. Složku  nazýváme disperzní složkou. Mezi oběma složkami komplexní permitivity platí Kramersovy - Kronigovy disperzní relace.
    Zavedeme komplexní hodnotu kruhové frekvence a budeme uvažovat o funkci
        (20 - III)
kde je pevně zvolená reálná hodnota a platí, že je větší než nula. Výše uvedená funkce (20 - III) je regulární ve všech bodech kromě . Provedeme-li integraci podél křivky znázorněné na obrázku (Obr. 1 - III), dostaneme nulu

Obr. 1 - III - Integrační cesta
    Tento integrál může být rozepsán do čtyř částí
    (21 - III)
Necháme-li růst R k nekonečnu a klesá k nule, vymizí první integrál, neboť funkce klesá s rostoucím R jako . Druhý a čtvrtý integrál dávají hlavní hodnotu integrálu
        (22 - III)
Zbývá tedy vyčíslit třetí integrál. Použijeme vztah
        (23 - III)
Potom , takže pro  bude
        (24 - III)
Dosadíme-li tento vztah do rovnice pro I [vztah (21 - III)], obdržíme
        (25 - III)
Po porovnání reálné a imaginární složky
        (26 - III)
        (27 - III)
Tyto disperzní relace jsou velmi obecnými vztahy mezi složkami komplexní permitivity. Když se frekvence blíží k nule, blíží se popis dielektrika v proměnném poli popisu statického jevu.