Dielektrika

Fyzika normálních dielektrik

Dielektrikum ve statickém elektrickém poli

    Tato kapitola popisuje účinky elektrostatického pole na dielektrikum

Experimenty ukazují, že působením vnějšího elektrického pole vznikají v dielektrických tělesech vázané elektrické náboje. Objemovou hustotu tohoto náboje označíme  . Projevuje-li se tento náboj pouze na povrchu tělesa, můžeme jeho objemovou hustotu vyjádřit ve tvaru
,        (1 - II)
kde je Diracova funkce,  plošná hustota vázaného náboje a n vzdálenost měřená kolmo k povrchu tělesa.
Poissonovu rovnici napíšeme ve tvaru
        (2 - II)
zde  je hustota volného náboje. Z této rovnice plyne
        (3 - II)
Zavedeme vektor tak, aby
        (4 - II)
Potom
        (5 - II)
Porovnáme-li tento vztah s diferenciálním vyjádřením Gaussovy věty
        (6 - II)
obdržíme
        (7 - II)
Vypočteme dále dipólový moment dielektrického tělesa. Pro dipólový moment zřejmě platí
        (8 - II)
K úpravě tohoto výrazu použijeme identitu
        (9 - II)
takže
        (10 - II)
    Vektor , který nazýváme vektorem polarizace, je tedy dipólovým momentem objemové jednotky látky.
    Pokusy s elektrováním různých látek ukazují, že ve většině případů je polarizace úměrná intenzitě elektrického pole. Můžeme proto psát
        (11 - II)
Veličinu nazýváme elektrickou susceptibilitou. Tato veličina má skalární charakter pro izotropní látky (plyny, kapaliny, amorfní pevné látky). V anizotropním prostředí je susceptibilita tenzorem druhého řádu, takže
        (12 - II)
Vektor je lineární vektorovou funkcí vektoru . Směr vektoru nemusí být totožný s vektorem . Dosadíme-li tyto vztahy do rovnice (7 - II), obdržíme
        (13 - II)
resp.
        (14 - II)
kde J je jednotkový tenzor.
Závislost dielektrické konstanty na elektrické susceptibilitě je dána vztahem
        (15 - II)
resp.
        (16 - II)
V anizotropním prostředí je i dielektrická konstanta tenzorem druhého stupně. Dokážeme, že je symetrickým tenzorem. Vyjdeme ze vztahu pro hustotu energie elektrostatického pole
        (17 - II)
Pro každou přípustnou hodnotu intenzity elektrického pole je splněna rovnost
        (18 - II)
a tudíž tenzor je symetrický. Symetrickým tenzorem je ovšem i
        (19 - II)
Prozkoumáme dále, jak se chovají vektory  a na povrchu dielektrického tělesa nebo na rozhraní mezi dvěma dielektriky. Předpokládáme, že na rozhraní není plošný náboj. Uvažujme o rozhraní mezi dielektriky s dielektrickými konstantami , . Situace je znázorněna na obrázku (Obr. 1 - II).

Obr. 1 - II - Rozhraní mezi dvěma dielektriky

Vypočteme tok vektoru  uzavřenou plochou tvaru nízkého válce s pláštěm kolmým k rozhraní. Tok pláštěm zanedbáme, takže
           (20 - II)
Pro a je
        (21 - II)
Vyjádříme-li
               
      (22 - II)
To znamená, že na rozhraní se normálové složky vektoru  mění spojitě.

Obr. 2 - II - Cirkulace vektoru E

Zvolme dále křivku ve tvaru obdélníku ležícího v rovině kolmé k rozhraní. Cirkulace vektoru (Obr. 2 - II) je
        (23 - II)
Zde byl zanedbán příspěvek svislých stran obdélníku, neboť předpokládáme, že . Volíme-li , bude
        (24 - II)
To znamená, že při průchodu rozhraním se tečné složky vektoru nemění.

Obr. 3 - II - Rozhraní mezi dvěma izotropními dielektriky
Z Obr. 3 - II plyne pro rozhraní mezi dvěma izotropními dielektriky


Platí tedy
        (25 - II)
Vypočteme dále plošnou hustotu vázaného náboje, který se vytváří na povrchu dielektrického tělesa umístěného v elektrickém poli. Dielektrické těleso je polarizováno, takže hustota vázaného náboje je
        (26 - II)
Na povrchu vyjádříme

a zvolíme integrační objem ve formě vrstvy kopírující povrch tělesa (Obr. 4 - II).

Obr.  4 - II - Integrační objem

Integrujeme vztah (26 - II)
        (27 - II)
Integrál na levé straně rovnice napíšeme jako součin integrálů a na integrál na pravé straně rovnice použijeme Gaussovu větu
        (28 - II)
Po malé úpravě s ohledem na skutečnost, že , bude
        (29 - II)
Protože je tento vztah splněn pro tělesa různých tvarů, musí být
        (30 - II)
Základní úlohou elektrostatiky v přítomnosti dielektrických těles je nalézt elektrické pole uvnitř dielektrika, je-li dáno rozložení volných nábojů, tvar dielektrického tělesa a jeho vlastnosti. Obecně vede tento problém k řešení Poissonovy rovnice

Potenciál musí být spojitou funkcí polohy i na rozhraní těles s různou dielektrickou konstantou. Na povrchu dielektrického tělesa se mění spojitě veličina

což je jednoduchým důsledkem spojitosti normálových složek vektoru .
Jako příklad vypočteme elektrickou polarizaci koule, vložené do homogenního elektrického pole. Potenciál uvnitř koule (Obr. 5 - II) je dán vztahem
        (31 - II)

Obr. 5 - II - Elektrická polarizace koule
Vně koule je potenciál součtem potenciálů vnějšího pole a potenciálu vyvolaného dipólovým momentem koule
        (32 - II)
Zde d je velikost dipólového momentu koule. Na povrchu koule musí být potenciál spojitý, to znamená
        (33 - II)
a musí být spojité normálové složky vektoru , tedy
        (34 - II)

Z těchto dvou rovnic po úpravě dostaneme


Odtud
        (35 - II)
        (36 - II)
takže

Vidíme, že vztahy (35 - II) a (36 - II) pro přejdou ve vztah pro vodivou kouli. Obecně se dá ukázat, že homogenní polarizace se ustaví uvnitř elipsoidu. Výpočet pro jiné útvary je obvykle velice složitý lze jej zpravidla provést jen numerickými metodami.